Теперь, по идее, мой клиент уже должен светить агента tii/current.

А какие юзерагенты имеют другие клиенты вроде того же Caesium? Что-то своё или дефолт какой-нибудь?

Да - ближе к концу лога access.log твой юзер-агент curl/7.54.1 сменился на tii/current