Я тут накатал демку как я примерно представляю себе nav drawer в этом приложении. Apk можно скачать по ссылке https://www.dropbox.com/s/if3winyztues63b/material-drawer-test.apk

Как вариант можно убрать круги и сделать верхнюю часть меньшей высоты.