vit01> Что показывал logcat при попытке "ручной" синхронизации? Любая такая ошибка должна следы оставить.
vit01> А ещё у DAVdroid есть свой дебаг-режим.

Бинго! В logcat`е проскочила строчка про автостарт

> I/AutoStartManagerService( 1107): MIUILOG- Reject service :Intent { act=android.content.SyncAdapter cmp=at.bitfire.davdroid/.syncadapter.ContactsSyncAdapterService (has extras) } userId : 0 uid : 10174

И подумал я - а может ему такие права дать? И что бы ви думали? Заработало!
Это при том, что в MIUI 6 автозапуск этой программе не требовался